摘要：提出符号解析法并应用于常态荷载工况下张拉整体结构的形态优化。该方法采用几何特征参数为变量，以张拉整体结构中压杆的预压应力水平最低为优化目标，考虑对称性和索不松弛，通过全局搜索找到最优的张拉整体结构形态。最后，通过张拉整体人行桥的算例，表明该方法具有良好的工程实用性。
关键词：张拉整体结构;平衡矩阵;形态优化;符号解析
论文《基于符号解析的张拉整体结构形态优化分析》发表在《空间结构》，版权归《空间结构》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
0 引言
在过去的几十年里，张拉整体概念的研究在建筑、生物、智能机器人和航空航天等方面取得了很大进展[1]。张拉整体结构设计的一个关键步骤是确定其几何形状，即找形。现有的张拉整体结构找形方法可分为静力学方法和动力学方法两大类[2]。
静力学方法主要分析给定拓扑结构的平衡位形和构件内力的关系。Schek[3]提出采用力密度法对索网结构进行找形。Maurin和Motro[4]提出了表面应力密度方法，用于对张拉膜结构进行找形分析。运动学方法不要求构件处于预应力状态，其特点是增加压杆的长度或者减小拉索的长度，同时保持另一种类型的单元长度不变，直到压杆长度达到最大值或拉索长度达到最小值。Connelly和Terrell[5]使用了一种基于几何的分析方法，通过保持拉索长度不变，最大化压杆的长度来找形。Barnes[6]提出了动力松弛方法用于张拉结构找形。Pellegrino[7]和Burkhardt[8]使用非线性规划法将张拉整体找形问题转化为一个约束最小化问题。这种方法不考虑任何应力约束，但得到的结构可能并不稳定。
除了找形方面的研究，找力方面的研究也发展得十分迅速。Pellegrino和Calladine[9]首先提出采用平衡矩阵理论对空间铰接杆系结构进行力学性能分析。袁行飞[10]依据平衡矩阵的理论，提出了对索穹顶结构的预应力优化的分层优化法。张志宏[11]建立了两节点索、杆、梁单元的平衡矩阵的一般形式，并对索杆梁体系的初始预应力进行分析。
本文提出一种符号解析法用于常态荷载工况下张拉整体结构的形态优化。根据结构找力分析和设计优化策略，通过改变几何参数得到最优的张拉整体结构形态。最后，通过张拉整体人行桥的算例验证了该方法具有良好的工程实用性。
1 施加预应力的构件内力
张拉整体结构在外荷载vec{p}作用下的平衡方程为：
Avec{t} = vec{p} qquad (1)
式中，A是平衡矩阵;vec{t}是构件的内力矢量;vec{p}是外载荷或由不平衡等效单元内力引起的残余节点力的矢量。
张拉整体结构的变形协调方程为：
Bvec{u} = vec{varepsilon} qquad (2)
式中，B是相容矩阵;vec{u}是结构的节点位移矢量;vec{varepsilon}是结构构件的相对位移矢量。
在线性小变形假设下，根据虚功原理有：
A^T = B qquad (3)
若记
left{
egin{array}{l}
AB_x = 0 \
AB_0 = I
end{array}
ight. qquad (4)
式中，B_x为结构的自应力矩阵，B_0为结构平衡矩阵A的广义逆。
从而有：
vec{t}_p = B_0 vec{p} qquad (5)
式中，vec{t}_p为结构在外荷载作用下的构件内力。
由结构力学可知，静不定结构在外荷载作用下的单元内力，可把静不定结构去除多余约束变为静定结构，其单元内力则由外荷载作用在静定结构上的单元内力和多余约束力作用在静定结构上的单元内力两部分组成。若把结构多余约束力记为vec{x}，则根据矩阵力法有：
vec{t} = B_0 vec{p} + B_x vec{x} qquad (6)
式中，vec{t}是构件的内力矢量;vec{p}是结构的外荷载矢量;vec{x}是结构的多余约束力矢量。
在外荷载作用下，张拉整体结构的构件相对位移与构件的单元内力的关系为：
vec{varepsilon} = f vec{t} qquad (7)
式中，f为构件单元的对角柔度矩阵。
由公式(4)可知：
B_x^T A^T = 0 qquad (8)
从而有：
B_x^T A^T vec{u} = 0 qquad (9)
由上式可得：
B_x^T vec{varepsilon} = 0 qquad (10)
将公式(6)和(7)代入上式中，可得
B_x^T f B_0 vec{p} + B_x^T f B_x vec{x} = 0 qquad (11)
式中，B_x^T f B_x称为结构的柔度矩阵。这个方程则称为结构的相容方程，从而有：
vec{x} = -(B_x^T f B_x)^{-1} B_x^T f B_0 vec{p} qquad (12)
把上式代入公式(6)中，可得：
vec{t} = [I - B_x (B_x^T f B_x)^{-1} B_x^T f] B_0 vec{p} qquad (13)
结构所需人为施加的预应力为：
vec{P} = B_x alpha qquad (14)
式中，vec{P}是结构的预应力;alpha是结构的独立自应力模态的组合系数。
由于预应力是在材料弹性范围内所施加的，故结构在施加预应力后构件的内力矢量可表示为：
vec{t} = [I - B_x (B_x^T f B_x)^{-1} B_x^T f] B_0 vec{p} + B_x alpha qquad (15)
由于人为施加的预应力为强迫施工，只需满足平衡条件而不需要满足相容条件，所以有：
-B_x (B_x^T f B_x)^{-1} B_x^T f B_0 vec{p} = 0 qquad (16)
结构施加预应力后，形态生成的最终时刻为同一构型，因此结构构件的内力矢量可表示为：
vec{t} = B_0 vec{p} + B_x alpha qquad (17)
2 考虑对称性条件的找力分析
对于已知拓扑和单元信息的张拉整体结构，设构件数为b，节点数为j，约束数为k。若记平衡矩阵A的秩为r，则可得独立自应力模态数s = b - r，独立机构位移模态数m = 3j - k - r。
为了能找到一组可行的自应力模态，即满足索受拉、杆受压的可行性条件，并且同一类别构件的预应力分布比较均匀，可以考虑结构几何的对称性条件。由于结构中几何对称的构件对应的独立自应力模态矩阵的行矢量的2-范数相等，因此把相同类别的两个单元分为一组。设结构中几何对称构件的组数为a，对于第i组的第m个构件单元和与其对称的第n个构件单元，记x_m = -1, x_n = 1，则有：
X_i = [0 cdots x_m cdots x_n cdots 0] qquad (18)
其中，X_i表示第i组构件的对称性，0 < i leqslant a, 0 < m < n leqslant b。
结构考虑对称性条件的平衡方程为：
left[egin{array}{l} A \ X end{array} ight] hat{t} = 0 qquad (19)
对平衡矩阵进行奇异值分解可得：
left[egin{array}{l} A \ X end{array} ight] = U S V^T qquad (20)
式中，U是一个(3j - k + a) imes (3j - k + a)阶正交矩阵;V是一个b imes b阶正交矩阵。向量v_i为第i个右奇异向量，其中向量v_i (i = r+1, cdots, b)为结构考虑对称性条件的独立自应力模态。
若张拉整体结构的预压应力水平记为F，则有
F = operatorname{Max}(v_i alpha) qquad (21)
其中，向量v_i (i = r+1, cdots, b)是结构考虑对称性条件的独立自应力模态，alpha为独立自应力模态的组合系数。
3 张拉整体结构形态优化
符号解析法是一种基于几何解析参数，将找力分析与优化策略相结合的形态优化方法。主要思想是根据张拉整体结构的几何和拓扑关系定义特征参数，然后考虑对称性条件来组装符号平衡矩阵。在荷载态下考虑结构的自重以及外荷载作用，并以结构中压杆的最低预压应力水平为目标函数，拉索的最小内力为零作为约束条件，由参数分析而获得满足设计要求的最优的结构形态。
张拉整体结构进行形态优化的主要目的是为了节约成本，获得最大的经济效益，同时防止拉索出现松弛，不会导致结构出现破坏或不能承载的情况。因此，目标函数为：
min F = F(alpha) qquad (22)
式中，F为在全局域内结构中压杆的预压应力水平。
约束条件为：
vec{t}_s = B_0 vec{p} + B_x alpha geqslant 0 qquad (23)
式中：vec{t}_s为常态荷载工况下结构中拉索的内力。
根据上述的优化策略，采用符号解析法对张拉整体结构进行形态优化分析，其流程图如图1所示。
采用符号解析法对张拉整体结构进行形态优化的主要步骤为：
第一步，根据已知的结构几何和拓扑关系定义几何特征参数，从而确定结构节点、单元和约束信息;
第二步，计算结构考虑对称性条件的平衡矩阵，并对其进行奇异值分解得到独立自应力模态;
第三步，计算结构在考虑自重的外荷载作用下的构件内力;
第四步，根据结构在外荷载作用下的构件内力，以索不松驰作为约束条件，即拉索最小内力为零，采用线性规划法确定结构的独立自应力模态组合系数，从而得到常态荷载工况下结构的预应力;
第五步，根据张拉整体结构的工程设计要求，确定参数的变化范围。然后改变几何特征参数值，依次重复第二个步骤到第四个步骤;
第六步，在参数变化范围内，以结构中压杆的预压应力水平最低作为目标函数，通过全局搜索来确定最优的张拉整体结构的几何参数值，从而确定最优的且满足设计要求的张拉整体结构。
4 算例
乐清市都市田园公园玉箫路人行桥又名“蝴蝶桥”，采用张拉整体结构，初步设计方案桥长为280m，桥面宽为5m，桥下最低净空为4.5m，桥上最低净空为2.7m。桥面附加恒荷载为1.8kN/m²，活荷载为2.625kN/m²。如图2所示，采用二十个6杆25索二十面体张拉整体模块一维串列而成。
单个二十面体张拉整体模块由31个单元组成，其中包括6个杆单元和25个索单元，其几何形状参数如图3所示。由几何参数表示的节点坐标如表1所示，结构的拓扑信息如表2所示。
在张拉整体人行桥结构设计中，选用的材料尺寸和规格如表3所示。由此可计算出结构在考虑自重以及1.0恒荷载和1.0活荷载组合下的构件内力。
根据张拉整体人行桥的通行要求，各参数的取值范围如表4所示。根据结构在荷载态下的拉索内力包络值确定张拉整体模块独立自应力模态的组合系数，从而确定张拉整体人行桥的预应力。通过改变几何参数，以张拉整体人行桥的杆件的最低预压应力水平作为优化目标，在拉索以及系索不发生松弛的情况下确定最优的张拉整体模块的几何节点坐标，从而确定最优的张拉整体人行桥结构。由计算结果可知，满足工程应用的最优的张拉整体模块的节点坐标如表5所示，张拉整体人行桥在初步设计方案中最低的预压应力水平为1687kN。
5 结论
符号解析法能够有效地求得张拉整体结构的几何节点坐标，且更实际地满足工程设计要求。另外，这种方法不是单纯的找形分析和找力分析，而是通过结构在外荷载作用下的找力分析并结合设计优化策略来确定最优的张拉整体结构形态，具有实际的工程应用价值。
由于符号解析法涉及符号参数的计算，计算效率会低一些，但这种全局搜索优化方法有利于实现张拉整体结构在现代工程中应用的潜在价值，对张拉整体结构的工程应用具有重要的意义。
参考文献
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